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HF-Digital-Analog-Umsetzer

Auswirkungen eines Baluns auf die zweite Oberwelle

20. Juni 2019, 07:02 Uhr   |  Fanlong Li

Auswirkungen eines Baluns auf die zweite Oberwelle
© Marisha - Shutterstock

Asymmetrie in der Phase und Amplitude des Baluns am Ausgang eines HF-DAUs wirkt sich unterschiedlich auf die Unterdrückung der zweiten Oberwelle aus.

Bei exakter Symmetrie sorgt ein Balun dafür, dass sich die zweite Oberwelle im Ausgangsspektrum eines HF-DAUs aufhebt. Doch Baluns sind nie ideal. Je nach Bauart weisen sie eine unterschiedlich stark ausgeprägte Asymmetrie von Amplitude und Phase auf. Wie lässt sich der beste Balun auswählen?

Ein Balun (balanced-unbalanced), auch als Symmetrierglied bezeichnet, setzt differenzielle Signale (symmetrisch) in massebezogene Signale (unsymmetrisch) um. Er ist ein unerlässliches Bauelement für das Netzwerk zum Anpassen des Ausgangs von HF-Digital-Analog-Umsetzern (DAU). Zu den wichtigsten Parametern, die bei der Auswahl eines Baluns für HF-DAUs beachtet werden müssen, gehören die Einfügedämpfung, die Rückflussdämpfung und Asymmetrie von Amplitude und Phase. Die Einfügedämpfung lässt Rückschlüsse auf die Bandbreiteneigenschaften eines Baluns zu. Die Rückflussdämpfung als ein weiterer nützlicher Parameter macht es möglich, den Abschluss passend zum Verhalten des Baluns bei einer bestimmten Frequenz oder in einem bestimmten Frequenzband zu konzipieren.

Entwickler sind in der Regel mit den Auswirkungen der Einfüge- und Rückflussdämpfung auf die Leistungsfähigkeit eines HF-DAUs vertraut und wissen, wie sie das beste Bauelement auswählen. Dagegen wird die Asymmetrie von Amplitude und Phase häufig übersehen, weil ihre Auswirkungen auf die Leistungsfähigkeit eines HF-DAUs nicht immer offensichtlich sind. Zum Beispiel kann ein LTCC-Balun (Low-Temperature Co-Fired Ceramics) gegenüber einem gewickelten Balun bevorzugt werden, da ein LTCC-Balun sich durch kleine Abmessungen und einen stabilen Aufbau auszeichnet. Allerdings darf nicht übersehen werden, dass LTCC-Baluns eine sehr große Asymmetrie von Amplitude und Phase aufweisen.

Es ist wichtig zu wissen, welche quantifizierbaren Auswirkungen die Asymmetrie von Amplitude und Phase eines Baluns auf die Leistungsfähigkeit eines HF-DAUs hat, denn nur so kann eine korrekte Abwägung bezüglich der Bauart und der Leistungsfähigkeit eines Baluns für eine HF-Schaltung getroffen werden.

Theoretische Analyse

Blockschaltbild eines HF-DAUs
© Texas Instruments

Bild 1. Vereinfachtes Blockschaltbild eines HF-DAUs, dessen differenzielle Ausgänge mit einem Balun zu einem massebezogenen Signal umgesetzt werden.

Ungeachtet einer großen Bandbreite kommt es bei der linearen Kopplung zwischen der differenziellen Primärwicklung und der massebezogenen Sekundärwicklung eines Baluns zur Asymmetrie von Amplitude und Phase. In Verbindung mit einem DA-Umsetzer oder einem anderen Bauelement mit differenziellem Ausgang sorgt die Asymmetrie für eine verschlechterte Aufhebung geradzahliger Oberwellen im Ausgangssignal des DA-Umsetzers bzw. im verarbeiteten Signal. Ist diese Asymmetrie bei niedrigen Frequenzen meist vernachlässigbar, wirken sich die zusätzlichen Verzerrungen bei sehr schnellen DA-Umsetzern sehr wohl aus. Dies gilt insbesondere für HF-DAUs.

Zunächst wird betrachtet, wie sich die Asymmetrie von Amplitude und Phase eines Baluns auf die Aufhebung der zweiten Oberwelle (2. Harmonische Störung – HD2) eines HF-DAUs auswirkt. In Bild 1 ist das Modell eines HF-DAUs mit einem externen Balun dargestellt. Ein HF-DAU verzerrt das Eingangssignal x(t) zum Ausgangssignal y(t), wobei y(t) gleichzeitig das Eingangssignal des Balun ist. Wird y(t) zur Asymmetrie von Amplitude und Phase des Balun addiert, so ergibt sich z1(t) und z2(t). Schließlich wird z1(t) plus z2(t) zum massebezogenen Ausgangssignal z(t).

Der HF-DAU lässt sich als eine symmetrische Übertragungsfunktion dritter Ordnung nachbilden. Seine Übertragungsfunktion h(t) kann somit durch Gleichung 1 ausgedrückt werden:

h left parenthesis t right parenthesis equals a subscript 0 plus a subscript 1 x left parenthesis t right parenthesis plus a subscript 2 x left parenthesis t right parenthesis squared plus a subscript 3 x left parenthesis t right parenthesis cubed space space space space space left parenthesis 1 right parenthesis

Das Eingangssignal x(t) wird damit nach dem HF-DAU zu y(t) und lässt sich mit Gleichung 2 ausdrücken:

y subscript 1 left parenthesis t right parenthesis equals h open square brackets x left parenthesis t right parenthesis close square brackets equals a subscript 0 plus a subscript 1 x left parenthesis t right parenthesis plus a subscript 2 x left parenthesis t right parenthesis squared plus a subscript 3 x left parenthesis t right parenthesis cubed
y subscript 2 left parenthesis t right parenthesis equals h open square brackets negative x left parenthesis t right parenthesis close square brackets equals a subscript 0 minus a subscript 1 x left parenthesis t right parenthesis plus a subscript 2 x left parenthesis t right parenthesis squared minus a subscript 3 x left parenthesis t right parenthesis cubed space space space space space left parenthesis 2 right parenthesis

Der beste Fall: Der Balun weist keine Asymmetrie auf

Weist der Balun keine Asymmetrie auf, so sind z1(t) und z2(t) vollkommen ausgewogen, d.h. sie haben die gleiche Amplitude (k1 = k2 = k) und sind zueinander um genau 180° phasenversetzt. Dies wird durch Gleichung 3 ausgedrückt.

z subscript 1 left parenthesis t right parenthesis equals k y subscript 1 left parenthesis t right parenthesis
z subscript 2 left parenthesis t right parenthesis equals negative k y subscript 2 left parenthesis t right parenthesis space space space space space left parenthesis 3 right parenthesis

Der Balun setzt das differenzielle Signal z1(t) und z2(t) in ein massebezogenes Signal z(t) um, das sich mit Gleichung 4 berechnen lässt.

z left parenthesis t right parenthesis equals z subscript 1 left parenthesis t right parenthesis plus z subscript 2 left parenthesis t right parenthesis equals 2 k a subscript 1 left parenthesis t right parenthesis plus 2 k a subscript 3 x left parenthesis t right parenthesis cubed space space space space space left parenthesis 4 right parenthesis

Gleichung 4 gibt das vertraute Ergebnis für eine differenzielle Schaltung wieder: Heben sich die geradzahligen Oberwellen gegenseitig auf, ist dies bei den ungeradzahligen Oberwellen nicht der Fall.

Balun mit Amplituden-Asymmetrie

Weist der Balun eine Amplituden-Asymmetrie, aber keine Phasen-Asymmetrie auf, gilt k1 ≠ k2, was durch Gleichung 5 ausgedrückt wird.

z subscript 1 left parenthesis t right parenthesis equals k subscript 1 y subscript 1 left parenthesis t right parenthesis
z subscript 2 left parenthesis t right parenthesis equals negative k subscript 2 y subscript 2 left parenthesis t right parenthesis space space space space space left parenthesis 5 right parenthesis

Durch den Balun kann z(t) durch Gleichung 6 ausgedrückt werden.

z left parenthesis t right parenthesis equals z subscript 1 left parenthesis t right parenthesis plus z subscript 2 left parenthesis t right parenthesis
z left parenthesis t right parenthesis equals left parenthesis k subscript 1 minus k subscript 2 right parenthesis a subscript 0 plus left parenthesis k subscript 1 minus k subscript 2 right parenthesis a subscript 1 x left parenthesis t right parenthesis plus left parenthesis k subscript 1 minus k subscript 2 right parenthesis a subscript 2 x left parenthesis t right parenthesis squared plus left parenthesis k subscript 1 minus k subscript 2 right parenthesis a subscript 3 x left parenthesis t right parenthesis cubed space space space space space left parenthesis 6 right parenthesis

Gleichung 6 lässt erkennen, dass die zweite Oberwelle (HD2) direkt proportional zur Differenz zwischen den Amplitudentermen k1 und k2 ist.

Deshalb gilt:

H D 2 tilde k subscript 1 minus k subscript 2 space space space space space left parenthesis 7 right parenthesis

In einer realen Anwendung werden normalerweise sinusförmige Signale benutzt, um das HD2-Verhalten zu ermitteln. Wenn x(t) = sin (ωt), ergibt sich Gleichung 8 aus Gleichung 6.

z left parenthesis t right parenthesis equals z subscript 1 left parenthesis t right parenthesis plus z subscript 2 left parenthesis t right parenthesis
z left parenthesis t right parenthesis equals left parenthesis k subscript 1 minus k subscript 2 right parenthesis a subscript 0 plus left parenthesis k subscript 1 minus k subscript 2 right parenthesis a subscript 1 sin left parenthesis ϖ t right parenthesis plus left parenthesis k subscript 1 minus k subscript 2 right parenthesis a subscript 2 sin squared left parenthesis ϖ t right parenthesis plus left parenthesis k subscript 1 minus k subscript 2 right parenthesis a subscript 3 sin cubed left parenthesis omega t right parenthesis space space space space space left parenthesis 8 right parenthesis

Mit den trigonometrischen Potenzregeln:

sin squared left parenthesis ϖ t right parenthesis equals fraction numerator 1 minus cos left parenthesis 2 ϖ t right parenthesis over denominator 2 end fraction
sin cubed left parenthesis ϖ t right parenthesis equals fraction numerator 3 sin left parenthesis ϖ t right parenthesis minus sin left parenthesis 3 ϖ t right parenthesis over denominator 4 end fraction space space space space space left parenthesis 9 right parenthesis

und durch umstellen des HD2-Ergebnisses in Gleichung 8, ergibt sich Gleichung 10.

z left parenthesis 2 ϖ t right parenthesis equals left parenthesis k subscript 1 minus k subscript 2 right parenthesis a subscript 2 cos left parenthesis 2 ϖ t right parenthesis space space space space space left parenthesis 10 right parenthesis

Balun mit Phasen-Asymmetrie

Erzeugt der Balun eine Phasen-Asymmetrie φ zwischen den beiden Eingangssignalen und besteht keine Amplituden-Asymmetrie, dann gilt k1 = k2 und ϕ ≠ 0. Bei einem Balun mit Phasen-Asymmetrie bestehen unterschiedliche Laufzeiten für z1(t) und z2(t). Durchläuft das Ausgangssignal des HF-DAUs also den Balun, so bewirkt dieser eine konstante Signalverzögerung mit einem entsprechenden Phasenversatz. Wenn die Phase für die Grundschwingung ϕ ist, ist sie für die zweite Oberwelle (HD2) 2ϕ und für die dritte Oberwelle (HD3) 3ϕ. Nach Durchlaufen des Balun kann ein massebezogenes Signal mit Gleichung 11 ausgedrückt werden.

z left parenthesis t right parenthesis equals z subscript 1 left parenthesis t right parenthesis plus z subscript 2 left parenthesis t right parenthesis
z left parenthesis t right parenthesis equals k subscript 1 a subscript 1 x left parenthesis t right parenthesis left parenthesis 1 minus e to the power of j phi end exponent right parenthesis plus k subscript 1 a subscript 2 x left parenthesis t right parenthesis squared left parenthesis 1 minus e to the power of j 2 phi end exponent right parenthesis plus k subscript 1 a subscript 3 x left parenthesis t right parenthesis cubed left parenthesis 1 minus e to the power of j 3 phi end exponent right parenthesis space space space space space left parenthesis 11 right parenthesis

In Gleichung 11 ist zu sehen, dass die Amplitude der zweiten Oberwelle proportional zum Amplitudenterm k1 ist. Deshalb gilt:

H D 2 tilde k subscript 1 space space space space space left parenthesis 12 right parenthesis

Wie erwähnt, werden sinusförmige Signale zur Ermittlung des HD2-Verhaltens eingesetzt. Wenn also x(t) = sin (ωt) ist, ergibt sich gemäß Gleichung 2 nunmehr Gleichung 13.

z subscript 1 left parenthesis t right parenthesis equals k subscript 1 a subscript 0 plus k subscript 1 a subscript 1 sin left parenthesis ϖ t right parenthesis plus k subscript 1 a subscript 2 sin squared left parenthesis omega t right parenthesis plus k subscript 1 a subscript 3 sin cubed left parenthesis omega t right parenthesis space space space space space left parenthesis 13 right parenthesis

Werden auch hier die trigonometrischen Potenzformeln (Gleichung 9) angewendet und für 2ωt und 3ωt die Phasen 2φ und 3φ hinzugefügt, lässt sich z2(t) errechnen, wie in Gleichung 14 gezeigt.

z subscript 2 left parenthesis t right parenthesis equals k subscript 1 a subscript 0 plus k subscript 1 a subscript 1 sin left parenthesis ϖ t italic plus phi right parenthesis plus k subscript 1 a subscript 2 fraction numerator italic 1 italic minus italic cos italic left parenthesis italic 2 ϖ t italic plus italic 2 phi italic right parenthesis over denominator italic 2 end fraction plus k subscript 1 a subscript 3 fraction numerator italic 3 italic sin italic left parenthesis omega t italic plus phi italic right parenthesis italic minus italic sin italic left parenthesis italic 3 ϖ t italic plus italic 3 phi italic right parenthesis over denominator italic 4 end fraction space space space space space left parenthesis 14 right parenthesis

Das massebezogene Signal z(t) ist also z1(t) + z2(t). Durch Umstellen nach 2ωt ergibt sich Gleichung 15.

z left parenthesis 2 omega t right parenthesis equals negative k subscript 1 a subscript 2 sin left parenthesis phi right parenthesis cross times sin left parenthesis 2 omega t plus phi right parenthesis space space space space space left parenthesis 15 right parenthesis

Deshalb gilt:

H D 2 tilde k subscript 1 space space space space space left parenthesis 16 right parenthesis

  

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1. Auswirkungen eines Baluns auf die zweite Oberwelle
2. Erkenntnisse aus der Simulation
3. Übersicht der Bilder

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