BCH-Code zum Anfassen

4. Ein fiktiver BCH-Code

Die bisherige Betrachtung eröffnet neue Perspektiven und führt zu einem pragmatischen Ansatz. Grundsätzlich braucht man um festzustellen, wie viele Minimalpolynome das zugehörige Galois-Feld GF(n + 1) beinhaltet, nur die Kenntnis der Zykluslänge n. Z. B. die Zykluslänge von 15 liefert 4 Minimalpolynome m₁, m₃, m₅ und m₇ gemäß der Tabelle V. Zu diesem Zeitpunkt ist es noch nicht einmal erforderlich zu wissen, wie sie beschaffen sein müssen. Nur aus der Kenntnis der Struktur ihrer konjugierten Wurzeln ist bekannt welcher Grad das Minimalpolynom m_i der Wurzel aⁱ hat. Nun können 4 BCH-Codes genau so wie im Abschnitt 4.1 beschrieben konstruiert werden, ohne zu wissen um welche Polynome es sich handelt. Das Ergebnis ist in der Tabelle VI zusammengestellt. Diese fiktive Betrachtung ermöglicht den Nachweis einer Existenz eines BCH-Codes mit den typischen Eigenschaften wie Hamming-Distanz, Anzahl der übertragbaren Informationsbits usw., ohne eine exakte Kenntnis seiner Beschaffenheit zu haben. Vor der weiteren Diskussion noch ein wichtiger Hinweis. Irreduzibele Polynome haben eine ungerade Zykluslänge, d. h. Polynome mit gerader Zykluslänge sind stets reduzibel. Daher ist es wichtig, dass bei der fiktiven Betrachtung der BCH-Codes dies berücksichtigt wird. Jeder Versuch, die Galois-Felder für Polynome mit einer geraden Zykluslänge zu bilden, scheitert und führt zu Absurden Ergebnisse. Die irreduzibeln Polynome mit der Zyklus Länge n haben Wurzeln im Galois-Feld GF(n + 1), wenn n ein Teiler von 2^m – 1 ist. Ein nichtprimitives Polynom m^ten Grades mit der Zykluslänge n ist dann das Generator-Polynom des nichtprimitiven BCH-Codes.

Nun soll anhand von drei Beispielen die Beschaffenheit des fiktiven BCH-Codes erläutert werden. Hier für wurden die Zykluslängen von 255, 63 und 511 ausgewählt. Diese Zykluslängen stellen die maximalen Zykluslängen von Polynomen 8^ten, 6^ten bzw. 9^ten Grades dar, und somit liefern sie einen primitiven BCH-Code. In der Datei „BCH-Code.pdf“ sind diese Codes in den Blättern 1 bis 3 dargestellt. Wegen der umfangreichen Größe der Tabellen stehen sie im Internet auf der Homepage von BGIA (Berufsgenossenschaftliches Institut für Arbeitsschutz) unter der Adresse http://www.hvbg.de/bgia (Webcode 2658099) zur Verfügung. Man kann aus dem Blatt 1 feststellen, dass insgesamt 34 Minimalpolynome (alle irreduzibele Polynome 8^ten Grades) existieren. 30 Polynome davon sind vom Grad 8. 3 Polynome haben den Grad 4 und ein Polynom ist 2^ten Grades. In der Tabelle VII sind die typischen Merkmale dieser Polynome mit ihren wechselseitigen Beziehungen aufgelistet. Die Zykluslängen der Polynome werden durch die Glg. (10) bestimmt. In der Zeile Wurzeln sind die niedrigsten Potenzen der konjugierten Wurzeln eingetragen. Es ist interessant zu bemerken, dass die 16 Wurzeln von primitiven Polynomen 8^ten Grades Primzahlen sind, die nicht als Teiler von 255 (2^m – 1) vorkommen (Ausnahme 91 =13*7), da der Nenner in der Glg. (10) den Wert 1 annimmt. Die restlichen Polynome ergeben für die Wurzeln eine Zahl, die immer ein vielfaches der ersten Wurzel des Polynoms der betreffenden Gruppe (gleiche Zykluslänge) ist, z. B. die Zahlen 5, 25, 55 und 95 für die Wurzeln der Polynome mit der Zykluslänge 51.

1. BCH-Code zum Anfassen
2. 1.2 Erweiterung des binären Galois-Feldes zum GF(2m)
3. 4. Ein fiktiver BCH-Code
4. 2. Bestimmung der Gesamtheit der irreduzibeln Polynome
5. 1.4 Wurzeln des Polynoms
6. 5. Die wichtigen Eigenschaften der Polynome
7. 7. Zusammenfassung

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