S-Parameter darstellen und auswerten Werkzeug für 3D-Smith-Diagramme

3D-Darstellung des Smith-Diagramms
3D-Darstellung des Smith-Diagramms

Im Smith-Diagramm lassen sich S-Parameter anschaulich in einer ­Ebene darstellen – allerdings nur für passive Schaltungen. Mit der ­3D-Darstellung auf einer Kugel lassen sich jedoch auch S-Parameter ­aktiver Schaltungen am Computer visualisieren.

Die Software 3D Smith chart tool ist das erste Programm, das ein Smith-Diagramm auf eine Kugel projiziert, um die S-Parameter-Darstellung für aktive und passive Netzwerke verwenden zu können.

Das Programm wurde in den Jahren 2011 bis 2017 auf Basis der Fachaufsätze [1–4] entwickelt. Seither wurde und wird der Funktionsumfang erweitert. Im Programm ist zusätzlich ein 2D-Modul integriert, das automatisch eine 3D-Darstellung generiert und simultan anzeigen kann.

Mit der Software 3D Smith chart tool ist es möglich Smith-Diagramme [5], die in der Hochfrequenztechnik zum Messen und bei der Entwicklung von Schaltungen angewendet werden, auf einer Kugel statt auf einer Fläche abzubilden. Dies bietet den Vorteil, die Darstellung für alle möglichen Schaltungen zu nutzten – in einem Kugel-Diagramm.

Die Theorie der dreidimensionalen Darstellung von S-Parametern basiert auf der Riemannschen Zahlenkugel (siehe Kasten: Die Riemannsche Zahlenkugel) von Bernhard Riemann und den weiteren Arbeiten von Felix Klein und Maxime Bôcher – allerdings mit vertauschten Polen.

Sie ermöglicht eine sehr einfache Darstellung komplexer Zahlen auf einer Kugel. Wird diese Kugel wie die Erdkugel betrachtet, so ergibt sich folgende Einteilung:

  • nördliche Halbkugel: passive Schaltungen,
  • südliche Halbkugel: aktive Schaltungen, mit negativem Widerstandswert (Resistanz),
  • östliche Halbkugel: induktive Impedanz,
  • westliche Halbkugel: kapazitive Impedanz.

Damit bildet der Nordpol den Punkt der perfekten Anpassung, der sich im Smith-Diagramm im Ursprung befindet. Am Südpol befindet sich der Punkt mit unendlichem Reflexionsfaktor.

In Bild 1 ist ein vom Anwender gezeichneter Reflexionsfaktor einer Impedanz im vierten Quadranten der komplexen Ebene gezeigt (Bild 1, links oben) und seine Transformation ins klassische Smith-Diagramm (darunter). Der Verlauf wird von der Software in die 3D-Kugeldarstellung übertragen. Dort wird der Impedanzverlauf nördlich (passiv) und westlich (kapazitiv) abgebildet.

Ein induktiver Reflexionsfaktor, in der komplexen Ebene im ersten Quadranten eingezeichnet (Bild 2, links oben), wird auf der Kugel auf der nördlichen Halbkugel (passiv) im östlichen Bereich (induktiv) abgebildet.

Das Smith-Diagramm kann Netzwerke mit einem Reflexionsfaktor abbilden, dessen Betrag kleiner als 1 ist. Diese Netzwerke sind passive Netzwerke, zum Beispiel Schaltungen mit Widerständen, Spulen, Kondensatoren aber auch Antennen und Leitungen. Ihnen gemeinsam ist, dass sie eine Eingangsimpedanz haben, die sich im rechten Teil der Impedanzebene befindet, sie haben einen positiven Widerstandswert (Resistanz). Alle derartigen Schaltungen lassen sich innerhalb des Smith-Diagramms abbilden (Bilder 1 und 2).

Schaltungen können aber auch Eingangsimpedanzen mit negativem Realwert haben. Sie befinden sich also im linken Teil der Eingangsimpedanz-Ebene. Solche aktive Schaltungen sind z.B. Oszillatoren, Verstärker, Transistoren. Sie sind durch einen Reflexionsfaktor gekennzeichnet, dessen Betrag größer als 1 ist. Aktive Schaltungen mit negativem Realteil können nicht mehr im Smith-Diagramm dargestellt werden.

In Bild 3 ist ein vom Anwender gezeichneter Reflexionsfaktor einer aktiven Schaltung im linken Bereich der Eingangsimpedanz-Ebene dargestellt (Bild 3, links oben). Dieser Verlauf kann nicht ins traditionelle Smith-Diagramm übertragen werden (Bild 3, links unten). In der 3D-Kugeldarstellung (Bild 3, rechts) jedoch wird der Kurvenverlauf in der südlichen Halbkugel (aktiv) abgebildet (unten).