Würth Elektronik eiSos Eng umschlungene, gekoppelte Induktivitäten

Gekoppelte Induktivitäten sind elementare Komponenten, die sehr häufig in elektrischen Anwendungen von der Stromverteilung bis hin zu Funkübertragungsanlagen vorkommen. Im Folgenden wollen wir die grundlegenden Eigenschaften dieser Komponenten unter idealisierten und realen Verhältnissen betrachten.

Gekoppelte Induktivitäten haben genauso wie Transformatoren mehrere Wicklungen, die um einen Magnetkern gewickelt sind (Bild 1). Allerdings unterscheiden sie sich von Transformatoren im Wesentlichen dadurch, dass gekoppelte Spulen etwas Energie speichern, die später im Rahmen des topologischen Vorgangs freigesetzt wird. Transformatoren wiederum sind so konzipiert, dass sie Energie sofort und mit möglichst geringen Verlusten zwischen den Wicklungen übertragen. Gekoppelte Induktivitäten anstelle zweier diskreter Spulen einzusetzen hat den offensichtlichen Vorteil, dass Platz auf der Platine und Gewicht eingespart werden. Weitere Vorteile sind ein geringerer Brummstrom (Ripple), Spannungswandlung, Änderung der Impedanz einer Schaltung und eine galvanische Isolation.

Idealisierte Verhältnisse

Bei gekoppelten Spulen hängt die Induktivität einer einzelnen Wicklung vom Kernmaterial und dessen Geometrie, der Windungszahl und der Wicklungsart ab. Die gegenseitige Induktivität M zwischen den beiden Wicklungen lässt sich folgendermaßen ausdrücken:

(1) M equals square root of L subscript 1 times L subscript 2 end root

Dabei sind L1 und L2 die Einzelinduktivitäten der beiden Wicklungen. 

Dies setzt jedoch eine perfekte Kopplung zwischen den Wicklungen voraus. In der Realität gibt es immer einen gewissen Streufluss, obwohl einige Konstruktionen extrem eng miteinander gekoppelt sind. Eine Zahl zum Ausdrücken der Kopplung zwischen den Wicklungen ist der Kopplungskoeffizient k. Er wird durch eine Zahl zwischen null und eins dargestellt, wobei null bedeutet, dass keine Kopplung vorliegt, eins jedoch, dass eine perfekte Kopplung vorliegt. Dieser Koeffizient kann verwendet werden, um die Gleichung (1) zu modifizieren:

(2) M equals straight k times square root of L subscript 1 times L subscript 2 end root

Nach Bild 1 bewirkt ein Strom i1 in der Induktivität L1 über den Fluss Φ eine Spannung u2 in der Induktivität L2 auf der Sekundärseite. Dieser Effekt wird als Gegeninduktivität bezeichnet. Dies lässt sich durch die folgende Gleichung (3) beschreiben:

(3) u subscript 2 equals M times fraction numerator d i subscript 1 over denominator d t end fraction

Somit besteht ein Transformator aus zwei magnetisch gekoppelten Induktivitäten, der Selbstinduktionsspannung und der gegenseitigen Induktionsspannung. Damit können die Spannungen an den Wicklungen nach Bild 2 folgendermaßen beschrieben werden:

(4) u subscript 1 equals M times fraction numerator d i subscript 2 over denominator d t end fraction plus L subscript 1 times fraction numerator d i subscript 1 over denominator d t end fraction

(5) u subscript 2 equals M times fraction numerator d i subscript 1 over denominator d t end fraction plus L subscript 1 times fraction numerator d i subscript 2 over denominator d t end fraction

Die beiden Punkte im Schaltbild geben die Wicklungsrichtung an.

Eine ideale Induktivität hat keine Verluste und kein Streufeld – weder im Kupferdraht noch im Ferritkern, noch im Isoliermaterial. Der ohmsche Widerstand der Kupferwicklung beträgt 0 Ω und der magnetische Widerstand des Ferritkerns beträgt 0 (u → ∞). Für diesen Fall gilt:

(6) n subscript 1 times i subscript 1 plus n subscript 2 times i subscript 2 equals 0

Somit gilt für den idealen Transformator beziehungsweise die gekoppelte Induktivität folgender Zusammenhang:

(7) negative i subscript 2 over i subscript 1 equals u subscript 1 over u subscript 2 equals n subscript 1 over n subscript 2 equals ü

Das dazugehörige Schaltbild des idealen Transformators beziehungsweise der idealen gekoppelten Induktivität zeigt Bild 3.

 

In der Realität gibt es jedoch eine Reihe von parasitären Effekten, die das Verhalten gekoppelter Induktivitäten beeinflussen. Diese sind als Komponenten im Ersatzschaltbild in Bild 4 dargestellt und repräsentieren folgende Effekte:

  • Streuinduktivität LLx,
  • Kupferwiderstand der Wicklungen RWx,
  • Kapazität zwischen den Wicklungen CWWxy, Kapazität zwischen den Windungen einer Wicklung CWx,
  • Verluste im Dielektrikum RDCx.