Leistungsmessung Nyquist oder nicht Nyquist?

Bei der Betrachtung der Spezifikationen von Leistungsanalysatoren stellt sich immer wieder die Frage, ob das Nyquist-Theorem angewendet werden muss. Mit anderen Worten: Muss die Abtastrate wenigstens doppelt so hoch sein wie die maximale Bandbreite des Signals?

Auch in unserem Vergleich von Leistungsanalysatoren im letzten Sonderheft Messen+Testen [1] wurde die Frage gestellt, wie ein Leistungsanalysator mit einer Abtastrate von 1 MS/s eine Bandbreite von 1 MHz erreichen kann. Die Antwort: Bei herkömmlichen Leistungsanalysatoren muss das Nyquist-Theorem nicht eingehalten werden. Das Nyquist-Theorem ist nur dann wichtig, wenn man die Signale im Zeit- oder Frequenzbereich analysiert. Die Leistungsanalyse basiert dagegen auf Mittelwertbildung.

Die Leistung eines elektrischen Signals ergibt sich aus dem Integral über das Produkt aus den Momentanwerten der Spannung und des Stroms:

(1)    P equals 1 over T times integral subscript 0 superscript T u left parenthesis t right parenthesis times i left parenthesis t right parenthesis d t

Ein Leistungsmessgerät kann nur diskrete Messpunkte aufnehmen. So wird aus dem Integral eine Summe:

(2)    P equals fraction numerator increment t over denominator T end fraction sum from blank to blank of u left parenthesis t right parenthesis times i left parenthesis t right parenthesis equals 1 over N sum from n equals 1 to N of u left parenthesis n right parenthesis times i left parenthesis n right parenthesis

Dabei ist Δt der Abstand zwischen zwei Messpunkten und N=T/Δt die Anzahl der Messpunkte. Wenn genug Messwerte aufgezeichnet werden, entspricht der Wert dieser Summe dem Wert des Integrals mit ausreichender Genauigkeit (Bild 1).

Mathematisch gesehen ist das nichts anderes als eine Mittelwertbildung über viele Messwerte innerhalb einer Periode. Die Mittelwertbildung ist aber ein statistischer Prozess: Um einen möglichst genauen Leistungswert zu bestimmen, müssen möglichst viele Spannungs- und Stromwerte aufgenommen werden. Die Reihenfolge der Werte spielt dagegen keine Rolle. Die Messwerte können also auch in vielen Perioden nacheinander aufgezeichnet werden, ohne dass die Leistungsmessung darunter leidet (Bild 2).

Moderne Leistungsanalysatoren mitteln über ein Messintervall, das oft in mehreren Schritten wählbar ist. Bei den in [1] getesteten Geräten liegt dieses Intervall zwischen 16 ms und 1 min. Die Abtastraten liegen im Bereich von 100 kS/s bis 1 MS/s. Das bedeutet, dass jedes Messintervall je nach Größe einige 1000 Messwerte und mehr umfasst. Durch die große Zahl von Messwerten wird auch bei Unterabtastung ein korrekter Leistungswert bestimmt. Das gilt auch, wenn das Signal Frequenzen hat, die höher sind als die Abtastrate des Leistungsanalysators. Die Bandbreite eines Leistungsanalysators wird also nicht durch die Abtastrate bestimmt, sondern durch die Bandbreite der verschiedenen elektronischen Komponenten des Geräts. Zum Teil werden gezielt Tiefpassfilter eingebaut, um hochfrequente Störungen auszublenden. Ob und um wieviel die Abtast­rate eines Leistungsanalysators größer ist als seine Bandbreite, sagt folglich – anders als in [1] geschrieben – nichts über die Qualität und Genauigkeit des Geräts aus.

Wann gilt Nyquist doch?

Anders sieht die Situation aus, wenn der exakte zeitliche Verlauf der Leistungskurve bestimmt werden soll. Das ist der Fall, wenn beispielsweise Inrush Currents und ähnliche Effekte untersucht werden sollen. Inrush Currents spielen sich meist im Zeitrahmen von einigen wenigen Perioden ab. Bei herkömmlichen Leistungsanalysatoren verschwinden diese Effekte also durch die Mittelung.

Um die Effekte dennoch untersuchen zu können, müssen andere Messgeräte verwendet werden. Klassischerweise werden dafür häufig Oszilloskope verwendet. Durch die Verwendung von Strom- und Spannungstastköpfen an verschiedenen Kanälen und die Kombination mit den integrierten Mathematikfunktionen kann dann die Leistung gemessen werden.

Diese Methode ist jedoch sehr aufwendig und damit fehleranfällig. Daher gibt es seit einiger Zeit spezielle Messgeräte auf dem Markt, die die Eigenschaften von Oszilloskopen und Leistungsanalysatoren vereinen. Bei diesen Messgeräten muss das Nyquist-Theorem genauso wie bei Oszilloskopen eingehalten werden.

Referenz
[1] Markus Pfanzelt et al.: „Wer kann‘s am besten?“, Elektronik Messen+Testen, Oktober 2016, S. 28