Red-Pitaya-Anwendungsbeispiel Kabellängen messen

Open-Source-Plattform Red Ritaya Einsatz ist vielseitig: Zum Messen, steuern und lösen von Messproblemen.
Open-Source-Plattform Red Ritaya Einsatz ist vielseitig: Zum Messen, steuern und lösen von Messproblemen.

Der Red Pitaya ist eine Open-Source-Plattform zum Messen und Steuern, die vom PC gesteuert wird. Mit Programmen, beispielsweise in Python, können verschiedenste Messprobleme gelöst werden. Dieses Anwendungsbeispiel demonstriert die Messung der Kabellänge mittels Zeitbereichsreflektometrie.

Die Länge eines Koaxialkabels kann natürlich mechanisch bestimmt werden (Bild 1). Einfacher ist es, die Zeit zu messen, in der sich ein Signal über die Länge des Kabels ausbreitet und am Ende reflektiert wird. Dieses Prinzip macht sich die Zeitbereichsreflektometrie (Time Domain Reflectometry, TDR) zunutze, um Fehler und Beschädigungen an langen Kabeln (zum Beispiel Unterseekabeln) zu lokalisieren.

Leitungstheorie

Für die Laufzeitbetrachtung eines niederfrequenten Signals wird das Kabel abgesehen vom Serienwiderstand als nahezu idealer Leiter betrachtet. Bei hohen Frequenzen können einige Eigenschaften nicht mehr ignoriert werden. In diesem Fall muss das Kabel als Übertragungsleitung betrachtet werden. Zur Übertragungsleitung gehört die mathematische Beschreibung eines Leiters als Aneinanderreihung infinitesimal kleiner Abschnitte dz, welche die Charakteristik des Leiters beschreiben.

Bilder: 4

Red Pitaya Schaltbilder 1-4

Schaltbilder mit Übertragungsleitung, Spannungsquelle und Widerstand

Das Verhalten und die Charakteristik einer Übertragungsleitung werden durch folgende Parameter bestimmt (Bild 2):

  • R’ = der Widerstand der Leitung je Längeneinheit (Angabe in Ω/m)
  • L’ = Induktivität der Leitung je Längeneinheit (H/m)
  • G’ = Ableitfähigkeit der Leitung je Längeneinheit (S/m)
  • C’ = Kapazität der Leitung je Längeneinheit (F/m).

Wenn sich das Signal entlang der z-Achse ausbreitet, können unter Anwendung der Netzwerktheorie die Zusammenhänge zwischen Spannung und Strom auf beiden Seiten der Abschnitte einer Übertragungsleitung abgeleitet werden (Bild 3). Bei infinitesimal kleinen Abschnittslängen erhält man zwei partielle Differenzialgleichungen, die auch als Telegrafengleichungen bekannt sind:

fraction numerator partial differential U left parenthesis z comma t right parenthesis over denominator partial differential z end fraction equals negative R ´ I left parenthesis z comma t right parenthesis minus L ´ fraction numerator partial differential I left parenthesis z comma t right parenthesis over denominator partial differential t end fraction space space space left parenthesis 1 right parenthesis

fraction numerator partial differential I left parenthesis z comma t right parenthesis over denominator partial differential z end fraction equals negative G ´ U left parenthesis z comma t right parenthesis minus C ´ fraction numerator partial differential U left parenthesis z comma t right parenthesis over denominator partial differential t end fraction space space left parenthesis 2 right parenthesis

Nach mehreren Zwischenschritten (die den Umfang dieses Artikels sprengen würden) ergibt sich die Lösung der Wellengleichung für Spannung und Strom:

U left parenthesis z comma t right parenthesis equals U to the power of plus e to the power of left parenthesis j omega t plus gamma z right parenthesis end exponent plus U to the power of minus e to the power of left parenthesis j omega t plus gamma z right parenthesis space end exponent space space space left parenthesis 3 right parenthesis

I left parenthesis z comma t right parenthesis space equals space I to the power of plus e to the power of left parenthesis j omega t plus gamma z right parenthesis end exponent plus I to the power of minus e to the power of left parenthesis j omega t plus gamma z right parenthesis end exponent space space space left parenthesis 4 right parenthesis

Die Lösung ist die Summe einer sich vorwärts ausbreitenden Welle (in positiver z-Richtung) und einer rücklaufenden Welle (in negativer z-Richtung). U+ ist die Amplitude der hinlaufenden Spannungswelle und U– ist die Amplitude der rücklaufenden Spannungswelle. I+ und I– sind die Amplituden der hin- bzw. rücklaufenden Stromwelle. ω ist die Kreisfrequenz und γ die Wellenzahl.

Neben den vier grundlegenden Bestandteilen einer Übertragungsleitung ist deren Wellenwiderstand (Bild 4) eine wesentliche Kenngröße. Er ist definiert als das Verhältnis der Größe der hinlaufenden Spannungswelle zur Größe der hinlaufenden Stromwelle.

Z subscript 0 equals fraction numerator U plus over denominator I plus end fraction equals U to the power of minus over I to the power of minus equals square root of fraction numerator R plus j omega L over denominator G plus J omega C end fraction end root space space space left parenthesis 5 right parenthesis

 

Reflexionstheorie

Ein Signal, das sich längs einer Übertragungsleitung ausbreitet, wird ganz oder teilweise reflektiert, sobald das Signal auf eine Unstetigkeit (Unterbrechung, Störstelle) des Wellenwiderstands im Leiter trifft oder wenn das entfernte Ende der Leitung nicht mit dem passenden Wellenwiderstand abgeschlossen ist.

Aufgrund von Leitungsverlusten haben reflektierte Impulse eine kleinere Amplitude als hinlaufende Impulse. Die hinlaufende Welle hat keinerlei Vorahnung, was sie am Ende der Leitung erwartet, und wird nur durch den Wellenwiderstand Z0 beeinflusst. Wenn jedoch der Impuls auf ein offenes Ende trifft, so ist der Strom in der Leitung Null. Hinlaufender und reflektierter Strom haben entgegengesetzte Richtung und sind im Absolutwert identisch. Falls das Ende der Leitung kurzgeschlossen ist, muss die Spannung Null sein, da an einem Kurzschluss keine Spannung abfallen kann. In diesem Fall haben also hinlaufende und reflektierte Spannung entgegengesetzte Richtung und identischen Absolutwert. In beiden Fällen muss die gesamte Energie über die Leitung zurückgeschickt werden. Das Verhältnis von Amplitude der reflektierten Spannung zur Amplitude der hinlaufenden Spannung ist der sog. Reflexionsfaktor:

capital gamma equals fraction numerator U to the power of minus over denominator U plus end fraction space equals space fraction numerator Z subscript L minus Z subscript 0 over denominator Z subscript L plus Z subscript 0 end fraction space space space left parenthesis 6 right parenthesis

Red Pitaya

 

Das Herz des Red Pitaya ist eine System-on-Chip-(SoC-)Architektur in Form eines FPGA vom Typ Xilinx Zynq 7010. Er enthält einen Dual-Core-ARM9-Prozessor, der mit 800 MHz getaktet wird und mit einer Linux-Distribution arbeitet. Durch die Rekonfigurierbarkeit der FPGA-Logik (35,2k Flipflops, 17,6k Look-up Tables und 80 DSP-Slices) in Kombination mit dem 125 MS/s schnellen analogen Front End bestehend aus zwei 14-bit-Analogeingängen und zwei 14-bit-Analogausgängen eröffnen sich viele Einsatzmöglichkeiten im Bereich der digitalen Signalverarbeitung. Die Vielseitigkeit des All-in-One-Konzepts zeigt sich auch in vielen Projekten, die zum Teil vom Red Pitaya Team selbst und zum Teil aus der rund 5000 Mitglieder zählenden Red Pitaya Community kommen: Oszilloskop, Arbiträr-Signalgenerator, Spektrumanalysator, LCR-Meter, PID-Regler, Tesla-Meter oder andere. Mehr Informationen finden Sie unter www.alldaq.com/redpitaya