Für den Entwickler unter der Lupe: eine Filter-Kategorie mit vielen Vorteilen Rekursiv-Filter optimal entwickeln

Digitale Filter lassen sich sowohl durch nichtrekursive als auch durch rekursive Strukturen realisieren. Die rekursiven zeichnen sich insbesondere dadurch aus, dass sie hohe Dämpfungsanforderungen mit einer deutlich niedrigeren Ordnung erfüllen können als nichtrekursive Filter. Im Folgenden einige Details zu dieser Filter-Kategorie.

Digitale Filter lassen sich sowohl durch nichtrekursive als auch durch rekursive Strukturen realisieren. Die rekursiven zeichnen sich insbesondere dadurch aus, dass sie hohe Dämpfungsanforderungen mit einer deutlich niedrigeren Ordnung erfüllen können als nichtrekursive Filter. Im Folgenden einige Details zu dieser Filter-Kategorie.

Grundlagen des Filterentwurfs

Für den Filterentwurf steht eine Reihe von Software-Werkzeugen zur Verfügung, die aus der eingegebenen Filteranforderung die Übertragungsfunktion berechnen. In der Regel gibt man als Filterspezifikation die Grenzfrequenzen sowie für den Durchlassbereich die maximal zulässige Ripple- Amplitude und für den Sperrbereich die minimal zulässige Dämpfung an. Darüber hinaus kann der Anwender verschiedene Übertragungscharakteristiken wie Tschebyscheff I und II, Butterworth oder Elliptisch auswählen. Das Berechnungsprogramm bestimmt aus diesen Anforderungen die minimal notwendige Filterordnung und berechnet die Übertragungsfunktion. Im Internet wird unter der Adresse www.circuitsage.com ein guter Überblick über teils frei verfügbare, teils kommerzielle Entwurfsprogramme gegeben.

Ein Filterentwurfsprogramm, das sowohl im universitären Bereich als auch in der Industrie sehr weit verbreitet ist, ist MATLAB von Mathworks (www.mathworks.com). Mit Hilfe des in MATLAB enthaltenen Filterentwurfs- und Analysewerkzeugs " FDATools" lässt sich sehr einfach eine Fülle von unterschiedlichen Filtern berechnen und die Eigenschaften visualisieren. Bild 1 zeigt das entsprechende Eingabefenster von " FDATools" , das durchaus typisch für viele Filterentwurfsprogramme ist. Der Filterentwurf an sich wird heute also durch leistungsfähige Software- Werkzeuge unterstützt und stellt für den erfahrenen Entwickler kein Problem mehr dar.

Weitaus kritischer ist allerdings die Umsetzung der berechneten Filterübertragungsfunktion in eine funktionsfähige Filterschaltung, insbesondere wenn die Optimierung von Kosten und Leistungsverbrauch im Vordergrund stehen. Dann muss das Filter auf jeden Fall im Festkomma-Format realisiert werden, und beim Filterentwurf sind im nächsten Schritt die Wortlängenbegrenzungseffekte mit zu berücksichtigen. Zum Beispiel ändert sich durch die Quantisierung der Koeffizienten die Übertragungsfunktion des Filters. Diese Auswirkungen können daher gegebenenfalls schon beim Filterentwurf berücksichtigt werden. Darüber hinaus entsteht durch die Wortlängenbegrenzung an den Addiererund Multipliziererausgängen Quantisierungsrauschen, das dem Signal überlagert wird und das Signal/Rausch- Verhältnis verschlechtert. Schließlich müssen auch mögliche Überläufe an den Addiererausgängen analysiert und gegebenenfalls geeignete Gegenmaßnahmen getroffen werden.

Die verschiedenen Filterstrukturen werden im Folgenden an Hand eines Beispiels miteinander verglichen. Hierzu wird ein Tiefpassfilter entworfen, dass zum Einsatz in einem Software- Defined Radio als Dezimationsfilter geeignet ist [9]. Das Filter hat für eine Abtastfrequenz von FS folgende Spezifikation zu erfüllen:

Durchlassbereich: 0 bis 0,25 × FS/2
Sperrbereich: 0,7 × FS/2 – FS/2 Max.
Ripple im Durchlassbereich: 0,0005 dB
Minimale Sperrdämpfung: 100 dB

Um diesen Anforderungen gerecht zu werden, ist ein elliptisches Filter siebter Ordnung erforderlich. Dies gilt sowohl für die Kaskadenschaltung allgemeiner Filterblöcke zweiter und erster Ordnung als auch für eine Realisierung als Brücken-Wellendigitalfilter, so wie es in Bild 8 dargestellt ist. Die Filteranforderungen werden für beide Filtertypen gerade noch erfüllt, wenn die Koeffizientenwortlänge auf 16 bit begrenzt wird. Die entsprechenden Übertragungsfunktionen der Filter sind in Bild 9 dargestellt. Für das Wellendigitalfilter sind die Abweichungen vom idealen Verlauf im Sperrbereich am größten, im Durchlassbereich ist das Filter aber extrem unempfindlich gegenüber der Quantisierung der Koeffizienten. Das IIR-Filter aus kaskadierten Blöcken niedriger Ordnung ist dagegen im Durchlassbereich deutlich empfindlicher und im Sperrbereich robuster gegenüber der begrenzten Koeffizientenwortlänge. Die Filterblöcke wurden mit der Struktur in Bild 2a realisiert, wobei eine Optimierung hinsichtlich einer bestmöglichen Skalierung erfolgte.

Für eine Implementierung als ASIC oder FPGA ist es sinnvoll, die Koeffizientenwerte weiter zu optimieren, so dass diese mit einer möglichst geringen Wortbreite und mit möglichst wenigen Shift-and-Add-Operationen dargestellt werden können, so dass kein Hardware-Multiplizierer für eine Realisierung erforderlich ist. Durch eine diskrete Optimierung war es möglich, die Koeffizientenwerte so weit zu vereinfachen, dass sie jeweils mit maxi mal drei Shift-and-Add-Operationen und einer Wortbreite von 11 bit oder weniger dargestellt werden können. Die Werte für das Brücken-Wellendigitalfilter sind in der Tabelle aufgeführt.

Für die Realisierung als Wellendigitalfilter ergeben sich weitere Optimierungsmöglichkeiten. Da die Anforderungen an die Sperrdämpfung sehr hoch sind, ist es sinnvoll, das Filter aus zwei kaskadierten Brücken- Wellendigitalfiltern niedrigerer Ordnung zu realisieren, die jeweils nur die halbe Sperrdämpfung erzeugen müssen. Hierzu sind zwei Filter fünfter Ordnung geeignet, für die sich deutlich einfachere Koeffizienten ergeben.

Eine weitere Optimierungsmöglichkeit ergibt sich durch eine Realisierung als bireziprokes Wellendigitalfilter [6...9], bei dem die Hälfte der Koeffizienten entfällt. Bireziproke Wellendigitalfilter weisen eine symmetrische Übertragungsfunktion bezüglich FS/4 auf. Da die vorgegebene Spezifikation von dieser Anforderung nicht sehr stark abweicht – der Durchlassbereich muss lediglich bis 0,3 × FS/2 ausgedehnt werden –, bietet sich für die vorgesehene Anwendung insbesondere der Einsatz von zwei kaskadierten, bireziproken Filterstufen an. Die entsprechende Anordnung ist in Bild 8b dargestellt. Durch diese Form der Realisierung ergeben sich mehrere Vorteile. Insbesondere reduzieren sich die Implementierungskosten, da sich die Anzahl der zu realisierenden Koeffizienten gegenüber der Struktur in Bild 8a von sieben auf vier reduziert hat. Außerdem kann das Filter mit der niedrigeren Abtastrate betrieben werden, falls am Ausgang eine Abtastratenreduzierung erfolgt. Dies ist bei dem betrachteten Software-Radio-Konzept der Fall [7...9].

Der Vorteil einer Kaskadierung mehrerer Filterstufen niedriger Ordnung liegt insbesondere darin, dass eine hohe Sperrdämpfung mit geringer Koeffizientenempfindlichkeit realisiert werden kann. Dadurch ergeben sich für die optimierten Koeffizienten sehr einfache Werte mit geringer Wortbreite. Auch die Signalverarbeitung kann mit einer entsprechend kleineren Wortbreite erfolgen, so dass der Implementierungsaufwand für die Register und Addierer entsprechend geringer wird. Da die Filterblöcke niedriger Ordnung sehr modular aufgebaut sind, ist diese Struktur auch sehr vorteilhaft im Hinblick auf eine VLSI-Implementierung.

Zur Erfüllung der Filterspezifikation sind zwei bireziproke Filterblöcke fünfter Ordnung ausreichend. Es müssen insgesamt vier Koeffizienten realisiert werden, die mit einer Wortlänge von maximal 7 bit und zwei Shift-and-Add- Operationen auskommen. Der entsprechende Frequenzgang der bireziproken Struktur ist ebenfalls in Bild 9 wiedergegeben. In der Tabelle sind die optimierten Koeffizientenwerte für beide Wellendigitalfilter-Strukturen gegen übergestellt. Der Realisierungsaufwand für die konventionelle Filterstruktur siebter Ordnung ist dagegen deutlich größer. Insgesamt müssen 17 Koeffizienten realisiert werden. Die Werte wurden aus Platzgründen nicht mit in die Tabelle aufgenommen.

Mit Hilfe von Simulationsmodellen auf der Basis von MATLAB wurde außerdem der Einfluss der Wortlängenbegrenzung an den Addiererausgängen auf das Rauschen am Filterausgang und den Dynamikbereich untersucht. Bild 10 zeigt das Ausgangssignalspektrum für die Struktur mit den vier kaskadierten Filterblöcken und für das bireziproke WDF-Filter bei einem sinusförmigen Eingangssignal. Die Wortlänge an den Addiererausgängen wurde auf 18 bit begrenzt. Das Gesamtrauschen ist für das optimierte WDF um ungefähr 10 dB geringer als für die kaskadierte Struktur. Damit kann die interne Wortbreite gegenüber der konventionellen Filterstruktur um bis zu 2 bit kleiner gewählt werden. Selbst das Wellendigitalfilter siebter Ordnung in Bild 8a weist ein um 3 dB geringeres Rauschen auf als die konventionelle Filterstruktur. Damit konnten auch simulationstechnisch die Vorteile von Wellendigitalfiltern für eine optimierte Realisierung bestätigt werden.

Wellendigitalfilter werden heute in vielen Bereichen eingesetzt, wenn die Optimierung von Kosten und Leistungsverbrauch eine große Rolle spielt. Ein Problem beim Entwurf von Wellendigitalfiltern liegt sicherlich darin, dass entsprechende Entwurfswerkzeuge zwar existieren, aber längst nicht eine so große Verbreitung gefunden haben und nicht so gut gewartet werden wie Entwurfsprogramme für klassische Digitalfilterstrukturen. Für den Entwickler, der bisher noch keine Erfahrungen mit Wellendigitalfiltern gemacht hat, ist es daher weitaus einfacher, seine Filterspezifikation in ein konventionelles Digitalfilter umzusetzen. Mit einem Wellendigitalfilter könnte aber oft eine weitaus bessere Lösung erzielt werden, wie hier gezeigt wurde.